L'existence d'une donnée inutile dans un problème permet de le résoudre et de prolonger l'observation pour découvrir de nouvelles propriétés mathématiques.
Philippe BOULANGER
L
énoncé d'un problème peut sembler incomplet, c'est-à-dire que les données ne semblent pas suffisantes pour sa résolution. Un exemple frappant est le calcul de l'aire d'une couronne dont on ne donne que la longueur l d'une corde tangente au cercle intérieur. Comme on n'indique pas le rayon du cercle intérieur ni celui du cercle extérieur, on en déduit que leurs valeurs importent peu et, pour simplifier le problème, on transforme le problème posé en prenant le cercle intérieur de rayon nul. La corde devient alors le diamètre du cercle extérieur et l'aire à calculer est égale à π l 2.Un petit calcul utilisant le théorème de Pythagore confirme ce résultat.
Confronté à une telle simplification étonnante, le mathématicien cherche à en comprendre le pourquoi.
Une raison de cette propriété fut dévoilée par le physicien Mamikon Mnatsakanian, alors qu'il était étudiant à l'Université de Erevan, en Arménie. Il montrait que l'on pouvait résoudre des problèmes de calcul intégral en construisant l'hodogramme du vecteur tangent à la courbe intérieure et en calculant l'aire équivalente balayée dans le mouvement. Il montra sa puissante méthode géométrique dans le plan et dans l'espace aux mathématiciens arméniens qui la dénigrèrent sans vraiment l'analyser. M. Mnatsakanian améliora si bien sa méthode qu'elle est aujourd'hui un des éléments principaux d'un programme californien d'enseignement dénommé « L'intégration visuelle » (Visual Calculus). Cette méthode, évoquée sur la figure 1, s'applique également à l'aire comprise entre les deux traces des roues de bicyclette : pour un circuit où la bicyclette revient à son point de départ dans la même direction, l'aire tracée est égale à l'aire du disque dont le diamètre est la distance constante entre les deux roues.
Dans l'espace, le problème analogue à celui de l'anneau consiste à déterminer le...
